Corrente di fluidi ed equazioni fondamentali
Descrizione della mappa mentale
Mappa mentale che sintetizza i concetti di corrente stazionaria di un fluido, portata, equazione di continuità, equazione di Bernoulli e principali applicazioni (Torricelli, effetto Venturi, portanza/effetto suolo), come presentati nel testo.
Cosa contiene questa mappa
Corrente stazionaria e meccanica dei fluidi
Sintesi dei concetti fondamentali sul moto dei fluidi ideali in condotti: corrente stazionaria, portata, equazione di continuità, equazione di Bernoulli e principali applicazioni pratiche in idraulica, medicina e aerodinamica.
Corrente stazionaria di un fluido
Una corrente è un movimento ordinato di un fluido (liquido o gas) attraverso un condotto (es. letto di un fiume, gasdotto). All’interno di un condotto la velocità può variare da punto a punto e nel tempo. La corrente si dice stazionaria quando, in ogni punto, la velocità resta costante nel tempo; in tal caso anche la portata attraverso una data sezione è costante.
Definizione di portata
La portata q misura l’intensità di una corrente attraverso una sezione trasversale del condotto. È definita come q = ΔV/Δt, dove ΔV è il volume di fluido che attraversa la sezione in un intervallo di tempo Δt. Nel SI si misura in m³/s. La sezione è una superficie piana immaginaria, perpendicolare al condotto, visualizzabile come una grata attraversata dal fluido.
Portata in funzione di area e velocità
Nell’ipotesi che la velocità sia la stessa in tutti i punti della sezione, la portata è q = S·v, dove S è l’area della sezione e v il modulo della velocità del fluido. A parità di velocità la portata è direttamente proporzionale all’area; a parità di area è direttamente proporzionale alla velocità.
Dimostrazione di q = S·v
Si considera un volumetto che arriva sulla sezione di area S con velocità v. In un intervallo Δt, se v è approssimativamente costante, il volumetto percorre Δx = vΔt. Tutti i volumetti sulla sezione percorrono lo stesso tratto, quindi il volume totale che attraversa la sezione è ΔV = S·Δx = S·v·Δt. Dalla definizione di portata q = ΔV/Δt si ottiene q = S·v.
Esempio del rubinetto
Un rubinetto riempie 180 L in 15 min. Convertendo: 180 L = 0,180 m³; 15 min = 9,0×10² s. Portata q = 0,180/9,0×10² = 2,0×10⁻⁴ m³/s. Con area della bocca S = 8,0 cm² = 8,0×10⁻⁴ m², la velocità è v = q/S = (2,0×10⁻⁴)/(8,0×10⁻⁴) = 0,25 m/s. Se a parità di portata il rubinetto fosse più largo (S maggiore), la velocità sarebbe minore (da q = S·v).
Effetti della gravità sul getto
L’acqua in uscita dal rubinetto è soggetta all’accelerazione di gravità, quindi la sua velocità aumenta scendendo lungo il getto. Ci si chiede se un vaso posto più in basso rispetto al rubinetto si riempia più velocemente: la valutazione richiede considerare che la portata è determinata dalla sezione alla bocca e dalla velocità in quel punto, mentre lungo il getto la sezione e la velocità cambiano per effetto della gravità.
Equazione di continuità
Per un liquido ideale incomprimibile che scorre in un condotto di sezione variabile, il volume che attraversa diverse sezioni nello stesso intervallo di tempo è uguale. Ne segue che la portata è uguale in tutte le sezioni: da q = S·v si ottiene S_A v_A = S_B v_B. Questa è l’equazione di continuità.
Significato fisico
L’equazione di continuità indica che, nella corrente di un liquido incomprimibile, la portata è uniforme lungo il condotto: non varia da una sezione trasversale all’altra. Inoltre mostra che area della sezione e velocità sono inversamente proporzionali: restringendo il condotto (S più piccola) la velocità aumenta, allargando il condotto (S più grande) la velocità diminuisce.
Condizioni di validità
Vale rigorosamente per un fluido ideale che soddisfa due condizioni: (1) incomprimibilità, cioè densità uniforme nello spazio e costante nel tempo; (2) velocità vettoriale identica in tutti i punti di una stessa sezione (stesso modulo, direzione e verso), cioè fluido non viscoso. Nei fluidi reali, gli attriti e la viscosità rendono non uniforme il profilo di velocità, specie vicino alle pareti del condotto.
Esempi qualitativi
Un esempio è l’aumento della velocità di fuoriuscita dell’acqua quando si riduce l’apertura dell’ugello di un tubo da giardino: riducendo l’area della sezione del flusso, la velocità aumenta per mantenere costante la portata. Un altro effetto è la variazione di velocità lungo il getto d’acqua in caduta, che però coinvolge anche l’azione della gravità oltre alla semplice variazione di sezione.
Applicazione medica: flussimetria Doppler
L’equazione di continuità si applica alla diagnosi di stenosi (restringimenti) e aneurismi (dilatazioni) dei vasi sanguigni. Misurando la velocità del sangue in diverse zone: se è più alta del normale c’è un restringimento; se è più bassa c’è una dilatazione. Da S_A v_A = S_B v_B, un aumento di velocità implica una riduzione dell’area della sezione trasversale.
Esempio: stenosi carotidea
Lungo una carotide, in corrispondenza di una stenosi, la velocità del sangue passa dal valore normale v_A = 25 cm/s al valore anomalo v_B = 150 cm/s. Dalla continuità S_A v_A = S_B v_B segue S_B/S_A = v_A/v_B = 25/150 = 1/6. L’area è diventata 1/6 di quella normale: la riduzione è di 5/6, cioè circa l’83%.
Equazione di Bernoulli
Per un fluido ideale di densità d in moto stazionario in un condotto di sezione e quota variabili, pressione p, velocità v e quota y sono legate dall’equazione di Bernoulli: p + (1/2)d v² + d g y = costante lungo una linea di flusso. Tra due sezioni A e B vale p_A + (1/2)d v_A² + d g y_A = p_B + (1/2)d v_B² + d g y_B.
Interpretazione energetica
L’equazione ha la forma di una legge di conservazione: la somma di tre contributi è costante lungo la corrente. p rappresenta l’energia di pressione per unità di volume, (1/2)d v² l’energia cinetica per unità di volume e d g y l’energia potenziale gravitazionale per unità di volume. In assenza di attriti viscosi, il lavoro delle forze di pressione si trasforma in variazioni di energia cinetica e potenziale.
Schema della deduzione
Si considera il volume di fluido tra due sezioni A e B di un condotto, con tratti orizzontali di aree S_A e S_B a quote y_A e y_B. Forze agenti: spinta di pressione a sinistra F_A = p_A S_A, a destra F_B = p_B S_B (forza resistente) e la forza-peso (conservativa). In uno stato iniziale il fluido è tra A e B; nello stato finale tra A′ e B′. I lavori delle forze di pressione su volumi uguali ΔV e il lavoro del peso si collegano, tramite il teorema lavoro-energia, alla variazione di energia meccanica del fluido trasferito, portando a Bernoulli.
Condizioni di validità
Richiede fluido ideale (incomprimibile, non viscoso), corrente stazionaria e assenza di attriti dissipativi. È applicata lungo una linea di flusso. La legge di Stevino per un liquido in equilibrio (v_A = v_B = 0) si ottiene come caso particolare di Bernoulli scegliendo opportunamente le sezioni e le pressioni, mostrando il legame con l’idrostatica.
Legge di Torricelli
Si applica Bernoulli a un recipiente aperto con un foro a profondità h sotto la superficie libera. Con p alla superficie e al foro uguali alla pressione atmosferica, v in superficie trascurabile e quota misurata dal foro (y_foratura = 0, y_superficie = h), l’equazione dà d g h = (1/2)d v², quindi v = √(2 g h). La velocità di uscita è uguale a quella di un corpo in caduta libera da un’altezza h.
Bottiglia forata e dipendenza dalla profondità
Una bottiglia aperta, con superficie libera a quota H e fori a diverse profondità h, mostra getti che escono con velocità in accordo con Torricelli (v = √(2 g h), maggiore per fori più profondi). Tuttavia i getti più veloci non sono necessariamente quelli che arrivano più lontano orizzontalmente: la distanza x coperta dipende sia dalla velocità iniziale sia dal tempo di caduta. Si indica che si può dimostrare e verificare sperimentalmente x(h) = 2√[h(H − h)] e che, su un altro pianeta, il valore di g influenzerebbe le distanze orizzontali.
Effetto Venturi e applicazioni aerodinamiche
L’effetto Venturi è una conseguenza di Bernoulli in condotti orizzontali con sezione variabile. La combinazione di variazioni di velocità e pressione ha molte applicazioni tecniche e aerodinamiche, tra cui l’effetto suolo nelle auto da corsa e la portanza sulle ali degli aeroplani.
Effetto Venturi (condotto orizzontale)
Per una corrente stazionaria in condotto orizzontale le quote y sono uguali nelle sezioni considerate, quindi i termini d g y si elidono in Bernoulli e si ottiene p_1 + (1/2)d v_1² = p_2 + (1/2)d v_2². Poiché dalla continuità la velocità è maggiore nelle strozzature, ne segue che dove v aumenta la pressione p diminuisce, e dove v diminuisce p aumenta. La grandezza p + (1/2)d v² è costante lungo il condotto.
Effetto suolo in Formula 1
Nel sistema solidale con la vettura, è l’aria a pressione atmosferica p_A = p_B che viene incontro alla velocità v_A. Il fondo con profilo ad ala rovesciata crea una strozzatura, in cui la velocità dell’aria v_B è maggiore di v_A e, per effetto Venturi (p_A + 1/2 d v_A² = p_B + 1/2 d v_B²), la pressione p_B sotto la vettura è minore di p_A. Ciò genera una spinta verso il basso (deportanza) che aumenta l’aderenza senza penalizzare la velocità massima in rettilineo come farebbero solo gli alettoni.
Portanza sulle ali degli aeroplani
Sulle ali agisce una forza aerodinamica verticale verso l’alto detta portanza, che contrasta il peso. Con angolo di attacco positivo, l’ala riceve dall’aria una spinta verso l’alto (azione-reazione). Dinamicamente, il flusso sopra l’ala viene accelerato (velocità maggiore rispetto al flusso indisturbato), mentre sotto l’ala è più lento. Dalla relazione di Bernoulli p_A + 1/2 d v_A² = p_B + 1/2 d v_B², la pressione sopra è minore e sotto è maggiore rispetto all’atmosfera, generando la portanza.
Ruolo dell’angolo di attacco
La sola forma del profilo alare non basta a garantire la portanza: è determinante l’angolo di attacco, controllato dal pilota. Con un opportuno angolo di attacco, un aereo può volare anche rovesciato o con ali quasi piatte (tipico di aerei da combattimento e acrobatici), perché ciò che conta è come l’ala devia il flusso e quindi come si distribuiscono velocità e pressione sopra e sotto l’ala.
Problema modello: dati su effetto suolo
Nel problema modello (non interamente svolto nel testo), una vettura di Formula 1 percorre una curva di raggio 140 m alla velocità massima di 280 km/h, con coefficiente di attrito statico 1,02 e massa 850 kg. Parte del fondo ha area 6,93 m². Si chiede: (1) la forza premente totale dovuta al carico aerodinamico (metà da alettoni, metà da effetto suolo), (2) la differenza di pressione che produce l’effetto suolo, (3) la velocità dell’aria nella strozzatura. I dati includono la densità dell’aria d = 1,225 kg/m³.
Connessioni tra continuità e Bernoulli
L’equazione di continuità e quella di Bernoulli si usano congiuntamente per risolvere molti problemi di moto dei fluidi. La prima fornisce il legame tra le velocità nelle sezioni di aree diverse (S_A v_A = S_B v_B), la seconda collega velocità, pressione e quota lungo il flusso, permettendo di calcolare variazioni di pressione o di velocità in condotti, fori, restringimenti o in presenza di cambi di quota.
Flusso in condotto a sezione variabile
In un tubo con due tratti A e B di aree S_A e S_B e quote diverse, la continuità impone S_A v_A = S_B v_B; sostituendo v_A e v_B in Bernoulli si determina come pressione e quota si compensino con le variazioni di velocità. Questa combinazione di relazioni spiega, ad esempio, il comportamento di liquidi che passano attraverso strozzature e tronchi di diversa altezza.
Fori in serbatoi e getti
Per un serbatoio con foro, la continuità si applica tra la grande sezione libera e il piccolo foro insieme alla quasi costanza della velocità sulla superficie, mentre Bernoulli fornisce la relazione energetica che porta a Torricelli. Per i getti successivamente in caduta, l’ulteriore aumento di velocità è governato dalla gravità, mentre la portata rimane determinata dalla sezione del foro e dalla velocità di uscita.
Velocità variabile lungo un tubo inclinato
In condotti inclinati o con parti a diversa quota, una stessa portata deve scorrere attraverso sezioni che possono differire per area e per energia potenziale gravitazionale. Le variazioni di velocità richieste dalla continuità influiscono sulle pressioni tramite Bernoulli, cosicché un aumento di quota o di velocità deve essere compensato da una diminuzione del termine di pressione, e viceversa, mantenendo costante la somma p + (1/2)d v² + d g y.